Теорема о пределе монотонной последовательности.

Если $\{a_{n}\}$ - монотонна и ограничена, то она сходится.

Б.О.О. $a_{n}$ монотонно возрастает, $M = sup \{a_{n}\}$. По определению: $$\forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N \in \mathbb{N}}~~ a_{N} > M - \epsilon \Rightarrow \forall{n>N}~~ M-\epsilon < a_{N} \leq a_{n} \leq M < M + \epsilon \Rightarrow M - \epsilon < a_{n} < M + \epsilon ~~~\square$$